\chapter{傅里叶1807年热传导理论的数学推导}
	
	\begin{abstract}
		本文重现了约瑟夫·傅里叶(Joseph Fourier)在1807年提出的热传导数学理论的核心推导过程，该理论最终在其1822年著作《热的解析理论》中正式发表。我们展示了傅里叶如何从物理直观出发，建立偏微分方程，并通过分离变量法和三角级数展开获得解析解，这一工作奠定了现代数学物理方程的基础。
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	1807年，傅里叶向法国科学院提交了关于热传导的里程碑论文。他研究了一维均匀细杆的热传导问题，假设：
	
	\begin{itemize}
		\item 热流强度与温度梯度成正比（傅里叶定律）
		\item 热量守恒原理
		\item 材料均匀且各向同性
	\end{itemize}
	
	\section{数学推导}
	
	\subsection{傅里叶定律的建立}
	设$u(x,t)$表示位置$x$处在时间$t$的温度。傅里叶提出热流$\mathbf{q}$满足：
	
	\begin{equation}
		\mathbf{q} = -k \nabla u
	\end{equation}
	
	其中$k$为热导率，负号表示热流向温度降低方向流动。
	
	\subsection{热传导方程的推导}
	考虑一维细杆$[0,L]$，对任意区间$[a,b]$，热量守恒要求：
	
	\begin{equation}
		\frac{d}{dt}\int_a^b c\rho u(x,t)dx = q(a,t) - q(b,t)
	\end{equation}
	
	其中$c$为比热容，$\rho$为密度。应用傅里叶定律并令$a,b$任意，得到：
	
	\begin{equation}
		\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}
	\end{equation}
	
	其中$\alpha = k/(c\rho)$为热扩散系数。
	
	\subsection{分离变量法求解}
	傅里叶采用分离变量法，设$u(x,t) = X(x)T(t)$，代入方程得：
	
	\begin{equation}
		\frac{T'}{\alpha T} = \frac{X''}{X} = -\lambda
	\end{equation}
	
	解得时间部分：
	
	\begin{equation}
		T(t) = Ce^{-\alpha \lambda t}
	\end{equation}
	
	空间部分构成Sturm-Liouville问题：
	
	\begin{equation}
		X'' + \lambda X = 0
	\end{equation}
	
	\subsection{三角级数展开}
	对于两端固定温度$u(0,t)=u(L,t)=0$的边界条件，傅里叶得到特征解：
	
	\begin{equation}
		u_n(x,t) = \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)e^{-\alpha(n\pi/L)^2 t}
	\end{equation}
	
	通过线性叠加，一般解可表示为：
	
	\begin{equation}
		u(x,t) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)e^{-\alpha(n\pi/L)^2 t}
	\end{equation}
	
	其中系数$b_n$由初始条件确定：
	
	\begin{equation}
		b_n = \frac{2}{L}\int_0^L f(x)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)dx
	\end{equation}
	
	\section{历史意义}
	傅里叶的这一推导具有革命性意义：
	
	\begin{itemize}
		\item 首次系统使用偏微分方程描述物理现象
		\item 开创了分离变量法和特征函数展开法
		\item 为广义函数和希尔伯特空间理论埋下伏笔
		\item 突破了传统函数概念，推动分析严格化
	\end{itemize}
	
	\section*{致谢}
	本文推导参考了傅里叶1822年发表的《Théorie analytique de la chaleur》现代版本。
	